On the number of critical points of the second eigenfunction of the Laplacian in convex planar domains

In this paper we consider the second eigenfunction of the Laplacian with Dirichlet boundary conditions in convex domains. If the domain has large eccentricity then the eigenfunction has exactly two nondegenerate critical points (of course they are one maximum and one minimum). The proof uses some estimates proved by Jerison ([13]) and Grieser-Jerison ([10]) jointly with a topological degree argument. Analogous results for higher order eigenfunctions are proved in rectangular-like domains considered in [11].

In questo lavoro consideriamo la seconda autofunzione del Laplaciano con condizioni al contorno di Dirichlet in domini convessi. Se il dominio ha una grande eccentricità, l'autofunzione ha esattamente due punti critici non degenerati (ovviamente sono un massimo e un minimo). La dimostrazione utilizza alcune stime dimostrate da Jerison ([13]) e Grieser-Jerison ([10]) congiuntamente con un argomento di grado topologico. Risultati analoghi per autofunzioni di ordine superiore sono dimostrati in domini di tipo rettangolare considerati in [11].