On the heat content functional and its critical domains

We study and classify smooth bounded domains in an analytic Riemannian manifold which are critical for the heat content at all times t> 0. We do that by first computing the first variation of the heat content, and then showing that Ω is critical if and only if it has the so-called constant flow property, so that we can use a previous classification result established in [33] and [34]. The outcome is that Ω is critical for the heat content at time t, for all t> 0 , if and only if Ω admits an isoparametric foliation, that is, a foliation whose leaves are all parallel to the boundary and have constant mean curvature. Then, we consider the sequence of functionals given by the exit-time moments T1(Ω) , T2(Ω) , ⋯ , which generalize the torsional rigidity T1. We prove that Ω is critical for all Tk if and only if Ω is critical for the heat content at every time t, and then we get a classification as well. The main purpose of the paper is to understand the variational properties of general isoparametric foliations and their role in PDE’s theory; in some respects they generalize the properties of the foliation of Rn by Euclidean spheres.

In questo lavoro vengono classificati i domini D limitati a bordo liscio di una varieta' analitica che sono critici per il funzionale heat content (contenuto di calore) per ogni valore del tempo t. Il risultato si ottiene in primo luogo calcolando la variazione prima del contenuto di calore e quindi dimostrando che D e' critico se e solo se ha la proprieta' del flusso costante; in questo modo e' possibile usare un risultato dimostrato precedentemente in [33] e [34]. La conclusione e' che D e' critico se e solo se esso ammette una foliazione isoparametrica, cioe' una foliazione le cui foglie sono tutte parallele al bordo e hanno curvatura media costante. Quindi, si considera la successione dei funzionali data da dai momenti dei tempi di uscita T1, T2, ... che generalizzano la rigidita' torsionale T1. Si dimostra che D e' critico per Tk, per ogni k, se e solo se esso e' critico per il contenuto di calore per ogni tempo t, e si ottiene dunque una classificazione anche in questo caso. Lo scopo principlae del lavoro e' di capire le proprieta' variazionali di foliazioni isoparametriche generali e il loro ruolo nella teoria deile EDP; per molti versi esse generalizzano le proprieta' della foliazione di Rn per sfere euclidee.