Higher structures in deformation theory

In this thesis we work on two main topics. The first one is the notion of formality for differential graded Lie algebras (DGLAs) and L-infinity algebras, and the second one is the study of the Baker-Campbell-Hausdorff product. Concerning the first problem we obtained two major results: the first one establishes a relation between two obstructions to formality which are present in literature (the Euler class and triple Lie-Massey products), and the second one is an exrtension of the formality criterion obtained from the Euler class, adapted to the notion of formality of higher degree. In the second part of this work, with and algebraic and combinatoric approach, we developed an efficient algorithm to compute the coefficients of the Baker-Campbell-Hausdorff product in the Lyndon basis of the free Lie algebra on two generators.

In questo lavoro vengono affrontati due problemi principali. Il primo è lo studio della formalità per algebre di Lie differenziali graduate (DGLA) ed algebre L-infinito, e il secondo è lo studio del prodotto di Baker-Campbell-Hausdorff. Ringuardo al primo problema vengono mostrati due risultati principali: il primo mette in relazione due ostruzioni alla formalità presenti in letteratura (la classe di Eulero e i prodotti tripli di Lie-Massey), e il secondo è un'estensione del criterio di formalità ottenuto attraverso la classe di Eulero, adattato alla nozione di formalità superiore. Nella seconda parte del lavoro, attraverso un approccio algebrico e combinatorio, otteniamo un algoritmo efficiente per calcolare i coefficienti del prodotto di Baker-Campbell-Hausdorff nella base di Lyndon dell'algebra di Lie libera su due generatori.