La "manière universelle" della gnomonica di Desargues

Per tutto il XVIII secolo l’opera di Girard Desargues fu oscurata dal fiorire dell’analisi matematica; per la sua riscoperta si dovettero attendere gli inizi del XIX secolo, quando cominciò a germogliare la geometria proiettiva di cui Desargues è padre fondatore. Oltre alle celebri opere dedicate allo studio della teoria delle sezioni coniche, della stereotomia e della prospettiva, Desargues è autore di due piccoli scritti sulla gnomonica editi intorno alla fine del 1640, in cui è illustrata la "manière uiverselle" per la costruzione di un cadran solaire. Si tratta di brevi contributi in cui è presentata una teoria di carattere generale per la costruzione di cadrans senza che si conosca la latitudine del luogo e senza l’impiego dell’ago magnetico. Come osserva Descartes: “la maniera in cui comincia il suo ragionamento […] è tanto bella quanto generale, e sembra essere presa da ciò che ho l’abitudine a definire metafisica della geometria”. Il primo dei due scritti illustra la maniera universale per posare lo stilo con la riga, la squadra e il filo a piombo. Desargues ricostruisce il cono giornaliero generato dal movimento apparente del sole attraverso tre sue generatrici; la direzione che deve assumere lo stilo è quella dell’asse principale di detto cono, ovvero dell’asse della terra. Questa soluzione sposta l’attenzione sul problema della determinazione dell’asse di un cono quadrico, per cui deve essere nota la sezione retta del cono, circolare o ellittica che sia. Poiché in questo caso la sezione retta è circolare, basterà staccare sulle generatrici tre segmenti di uguale lunghezza e costruire il piano passante per gli estremi liberi di detti segmenti; la retta passante per il vertice, perpendicolare a questo piano, è l’asse del cono e determina quindi la direzione dello stilo. Il secondo scritto illustra la maniera universale per determinare le linee orarie su di un piano. Desargues determina in primo luogo la linea meridiana, traccia del piano verticale passante per lo stilo sul piano del quadrante, e la linea delle ore sei, traccia del piano equatoriale passante per la sommità dello stilo sul medesimo piano. Sul ribaltamento del piano equatoriale sul piano del quadrante costruisce una circonferenza di raggio qualsiasi avente centro nella sommità ribaltata dello stilo e la divide in 24 parti; determina poi i punti di intersezione del fascio di rette appena determinato con la linea delle sei ore e costruisce infine le linee orarie congiungendo i punti di intersezione così trovati con la base dello stilo. Sebbene si tratti di un’applicazione particolare, sembra che Desargues fosse riuscito ad ottenere una soluzione generale al problema della determinazione dell’asse del cono. Come riporta Chasles, Desargues presentò ai colleghi il problema della ricerca delle sezioni circolari in un cono quadrico (obliquo, a base ellittica, parabolica o iperbolica), per cui avrebbe elaborato una costruzione grafica basata proprio sulla determinazione dell’asse del cono, come testimoniato nell’introduzione al Synopsis universae Geometriae del padre Mersenne.