Divagazioni sulle cupole con spinapesce spiralimorfi

When it comes to architecture is always convenient to choose among the many geometric patterns that can describe a surface, one that is closer to construction methods. Therefore, having verified that the intrados of the dome is semi-spherical, we consider this as a surface generated by the rotation of a diametrical section, that is, of a semi-circumference, around a vertical axis. Assume now a Cartesian reference system having the origin at the center of the sphere and that the axis 'z' coincides with the axis of rotation of the surface. In this description, well-established custom, we will call 'equator' line tax Dome, 'parallel' any of its horizontal section, 'meridian' diametrical section and any of its verticale.Se 'r' is the radius of the hemisphere , any point 'P' of the surface has coordinates: x = r cos B cos Ay = r cos B sin A [I] z = r sin Bequazioni that describe the entire surface as a function of the two parameters A and B, that is to mean, respectively, the longitude (A) and latitude (B) of the point considered. The formal reason of the 'herringbone' is generated by the juxtaposition of a brick floor in place and a place for brick knife. When a brick is laid on the knife on the first bed, it draws on the equator the first segment and the second segment of a meridian of the original polyline that is the 'herringbone'. The length of the first segment, the one that belongs to the equator, is equal to the thickness of the brick, plus the thickness of the vertical mortar joint that separates it from the brick which is flanked: say 'p' because this length, into the vault , it recurs every parallel, and is constant with good approximation. The length of the second segment, that belongs to a meridian, is equal to the thickness of the brick near, that is placed in the plane, plus the thickness of the mortar of the first bed: say 'm' since this length, into the vault, it recurs every meridian and is constant to a good approximation. This does not mean, of course, that 'p' and 'm' should be equal, even in the hypothesis is that they may differ, as, in general, differ, albeit slightly, the thickness of the mortar joints in the horizontal and vertical walls ing ordinary. If we now assign a value of 'zero', the initial parameters A and B, the [I] give the coordinates of the first vertex of the broken line. The coordinates of the second vertex can be obtained by increasing the angle A of dA which is given a value, in radians, from the relationship between the segment 'p' and the radius of the corresponding parallel. Similarly, the coordinates of the third vertex can be obtained by increasing the value at which it was said, and B of a dB value that is given by the ratio between the segment 'to me the radius of the corresponding meridian. Must be made, however, two caveats. First, in this case, replace the lengths of the arcs subtended by the edge of the brick and mortar, the lengths of the two segments objective. On the other hand, comparing the measurement of the thickness of a brick or a mortar joint with the radius of the entire structure, it is seen as the difference between the arc and the segment that underlies both, in fact, negligible and practicable then this shortcut, which makes it more agile our reasoning. Second, the radius of the meridian is constant, whatever the meridian taken into consideration, since all meridians are great circles of the sphere, which is the highest semicircles of our dome. Conversely, the radius of the parallel is not constant, but decreases from hand to hand as you climb from the equator to the brain of the dome. More precisely, the radius of a parallel is given by the product of the radius of the sphere relative to the cosine of the latitude, ie from (r cos B). That said, we can conclude that the coordinates of any vertex 'n' the herringbone, are given by [I] where the parameters are applied: An = Sum from 1 to n of DABN = Sum from 1 to n of dBdove dB is simply dB = m / rmentre that EDA = p

Quando si tratta di architettura è sempre conveniente scegliere, tra i tanti modelli geometrici che possono descrivere una superficie, quello che è più vicino alle modalità costruttive. Perciò, avendo verificato che l'intradosso della cupola è semi sferico, consideriamo questa superficie come generata dalla rotazione di una sezione diametrale, cioè di una semicirconferenza, intorno ad un asse verticale. Assumiamo ora un sistema di riferimento cartesiano che abbia l'origine nel centro della sfera e tale che l'asse 'z' coincida con l'asse di rotazione della superficie. In questa descrizione, per consuetudine ormai consolidata, chiameremo 'equatore' la linea d'imposta della cupola, 'parallelo' una sua qualsiasi sezione orizzontale, 'meridiano' una sua qualsiasi sezione diametrale e verticale. Se 'r' è il raggio della semisfera, un punto qualsiasi 'P' della superficie ha coordinate: x = r cos B cos A y = r cos B sin A [I] z = r sin B equazioni che descrivono l'intera superficie in funzione dei due parametri A e B, vale a dire, rispettivamente, della longitudine (A)e della latitudine (B) del punto considerato. Il motivo formale dello 'spinapesce' è generato dalla giustapposizione di un mattone posto in piano e di un mattone posto per coltello. Quando un mattone viene posato a coltello sul primo letto, esso disegna sull'equatore il primo segmento e su un meridiano il secondo segmento di quella originale spezzata che è lo 'spinapesce'. La lunghezza del primo segmento, quello che appartiene all'equatore, è pari allo spessore del mattone, più lo spessore del giunto verticale di malta che lo separa dal mattone cui è affiancato: diciamo 'p' questa lunghezza poiché, nell'apparecchio della volta, essa si ripropone ad ogni parallelo, ed è costante con buona approssimazione. La lunghezza del secondo segmento, quello che appartiene a un meridiano, è pari allo spessore del mattone vicino, che è posto in piano, più lo spessore della malta del primo letto: diciamo 'm' questa lunghezza poiché, nell'apparecchio della volta, essa si ripropone ad ogni meridiano ed è costante con buona approssimazione. Tutto ciò non significa, naturalmente, che 'p' ed 'm' debbano essere eguali, anzi è nelle ipotesi che essi possano differire, come, in genere, differiscono, sia pur leggermente, gli spessori della malta dei giunti orizzontali e verticali nella mura tura ordinaria. Se ora pensiamo di attribuire un valore 'zero', iniziale ai parametri A e B, le [I] danno le coordinate del primo vertice della spezzata. Le coordinate del secondo vertice si possono ottenere incrementando l'angolo A di un valore dA che è dato, in radianti, dal rapporto tra il segmento 'p' e il raggio del parallelo corrispondente. Analogamente, le coordinate del terzo vertice si possono ottenere incrementando A del valore che si è detto, e B di un valore dB che è dato dal rapporto tra il segmento 'm'è il raggio del meridiano corrispondente. Debbono essere fatte, tuttavia, due precisazioni. La prima: in questa ipotesi, si sostituiscono alle lunghezze degli archi sottesi dallo spigolo del mattone e dalla malta, le lunghezze oggettive dei due segmenti. D'altronde, mettendo a confronto la misura dello spessore di un mattone o di un giunto di malta con il raggio dell'intera struttura, si vede come la differenza tra l'arco e il segmento che lo sottende sia, di fatto, trascurabile e quindi praticabile questa scorciatoia, che rende più agile il nostro ragionamento. La seconda: il raggio del meridiano è costante, quale che sia il meridiano preso in esame, dato che tutti i meridiani sono circoli massimi di sfera, ovvero semicircoli massimi della nostra cupola. Viceversa il raggio del parallelo non è costante, ma si riduce, di mano in mano che si sale dall'equatore al cervello della cupola. Più precisamente, il raggio di un parallelo è dato dal prodotto del raggio della sfera per il coseno della latitudine relativa, cioè da (r cos B). Ciò detto possiamo concludere che le coordinate di un vertice qualsiasi 'n' dello spina pesce, sono date dalle [I] ove si applichino i parametri: An = Sommatoria da 1 a n di dA Bn = Sommatoria da 1 a n di dB dove dB è semplicemente, dB = m/r mentre dA è dA = p / (r cos B). Com'è noto, gli elaboratori elettronici si prestano particolarmente ai calcoli di tipo incrementale, i cui passi possono essere ripetuti un gran numero di volte in tempi brevissimi. Si può dunque simulare la costruzione di uno 'spinapesce', calcolando, con le formule di cui sopra, le coordinate di ciascun vertice della spezzata e rappresentano poi il risultato, in forma analogica, cioè grafica, sullo schermo o sul tracciatore automatico (plotter). Ma è anche possibile sovrapporre lo spinapesce 'calcolato' o 'simulato' a quello ottenuto per via fotogrammetrica e ciò permette di verificare immediatamente la fedeltà del modello matematico al manufatto. Né va trascurata la comodità offerta dal plotter di seguire l'elegante disegno dello 'spinapesce' nello spazio, costruendo e disegnando, sempre automaticamente, una vista assonometrica. La simulazione permette, infine, di seguire l'andamento della curva fino al cervello della cupola ed oltre, estendendola anche ad una supeficie sferica completa e di variare i parametri 'p' ed 'm' a piacimento per verificare gli effetti di una differenza negli spessori della malta. Se invece che p ed m si usano i valori p* = p + a e m* = m + a, dove a è una grandezza aleatoria a media nulla e distribuzione nota, che viene estratta ad ogni passo, si può anche introdurre nella simulazione numerica la lieve incostanza degli spessori di mattoni e malta. Da ultimo vogliamo esaminare la parentela tra la proiezione dello spinapesce sul piano d'imposta e la spirale d'Archimede. Questa spirale si può descrivere con l'equazione: r0 = kA o ponendo, cioè, in proporzionalità diretta il raggio vettore r0 e l'angolo A, il che è come dire se si volesse tracciare la curva partendo dalla linea d'imposta per procedere verso il centro, occorrerebbe ridurre r0 di quantità costanti, la cui somma è direttamente proporzionale all'angolo Aconsiderato. Ora, se si proietta lo spinapesce sul piano d'imposta, il raggio vettore r0 della proiezione di detta curva, è dato, come abbiamo visto, da (r cos B) e, di conseguenza, si riduce, dalla periferia al centro, di una quantità che non è direttamente proporzionale ad A. Il che può essere verificato, ancora una volta, nella forma grafica. Vorremmo concludere con una osservazione che non è più di natura geometrica. Forme complesse e seducenti come quelle dello spinapesce a doppio ordine di nervature, che abbiamo presentato, facilmente possono indurre a credere in un artifizio costruttivo complesso ed anche, forse, nell'intervento di qualche esoterica proporzione, tra quelle, innumerevoli, che da sempre affascinano l'animo umano. Non sempre è così. Se si riguarda a quel laborioso intreccio come ad una forma naturale, come, ad esempio, a certe strutture simmetriche d'organismi marini, che sono sovente il risultato della composizione nello spazio, di forze e leggi fisiche semplicissime, allora, pensiamo, è forse più facile credere alle nostre conclusioni. Qui le leggi fisiche e geometriche, che entrano in gioco, sono, appunto, soltanto due e semplicissime: la prima è la "legge della randa", quella, cioè per cui lo strumento usato dal muratore per dare ad ogni mattone la giusta distanza dal centro, descrive appunto la sfera come luogo geometrico, materializzandone un'astratta definizione; la seconda, sovrapposta alla prima, è tutta in quell'alternanza regolare di mattoni in piano e di mattoni a coltello. Null'altro: ed il risultato formale è tanto più prezioso, quanto più immediata e naturale è la sua generazione nello spazio.