The geometry of antisymplectic involutions, II

We continue our study of fixed loci of antisymplectic involutions on projective hyper-K & auml;hler manifolds of K3[n]-type induced by an ample class of square 2 in the Beauville-Bogomolov-Fujiki lattice. We prove that if the divisibility of the ample class is 2, then one connected component of the fixed locus is a Fano manifold of index 3, thus generalizing to higher dimensions the case of the LLSvS 8-fold associated to a cubic fourfold. We also show that, in the case of the LLSvS 8-fold associated to a cubic fourfold, the second component of the fixed locus is of general type, thus answering a question by Manfred Lehn. R & Eacute;SUM & Eacute; (La g & eacute;om & eacute;trie des involutions anti-symplectiques, II). Nous poursuivons notre & eacute;tude des lieux fixes des involutions anti-symplectiques sur les vari & eacute;t & eacute;s hyper-k & auml;hl & eacute;riennes projectives de type K3[n] induites par une classe ample de carr & eacute; 2 dans le r & eacute;seau de Beauville-Bogomolov-Fujiki. Nous prouvons que si la divisibilit & eacute; de la classe ample est 2, alors une composante connexe du lieu fixe est une vari & eacute;t & eacute; de Fano d'indice 3, g & eacute;n & eacute;ralisant ainsi aux dimensions sup & eacute;rieures le cas de la vari & eacute;t & eacute; de LLSvS de dimension 8 associ & eacute;e & agrave; une vari & eacute;t & eacute; cubique de dimension 4. Nous montrons & eacute;galement que, dans le cas de la vari & eacute;t & eacute; de dimension 8 de LLSvS associ & eacute;e & agrave; une vari & eacute;t & eacute; cubique de dimension 4, la deuxi & egrave;me composante du lieu fixe est de type g & eacute;n & eacute;ral, r & eacute;pondant ainsi & agrave; une question pos & eacute;e par Manfred Lehn.