Un rompicapo storico capovolto: dalla soluzione (sicuramente ottima di Archimede) al processo

In Archimedes' work The Measurement of the Circle, some mathematical results are presented without explicitly referencing their derivation. Among these, we find some estimates of square roots used in the recurrence process in the section devoted to inscribed polygons. The choice of the estimates not only is not explained, but seems non optimal compared to the precision shown in previous computations. Our hypothesis is that such sub-optimal approximations arise from a procedure structured through the solution of a complex system of Diophantine equations, so as to proceed in the exhaustion method while dealing with integers that are neither too small nor too large. The investigation of the strategy used by Archimedes becomes an intriguing educational proposal. Finally, a possible solution is suggested, along with its corresponding proof.

Nella Misura del Cerchio Archimede esibisce risultati matematici dando per scontata la loro provenienza. Tra questi alcuni valori relativi alle stime della radice quadrata durante il processo di ricorrenza nella sezione dedicata al poligono inscritto non solo non sono giustificati ma sembrano non ottimali rispetto alla precisione esibita nei calcoli precedenti. La nostra ipotesi è che tali approssimazioni sub-ottime derivino da una procedura strutturata attraverso la soluzione di un complesso sistema di equazioni diofantee in modo da procedere nell’esaustione avendo a che fare con interi né troppo piccoli né troppo grandi. La ricerca della strategia utilizzata da Archimede diviene un’intrigante proposta didattica. Infine viene suggerita una possibile soluzione con la relativa dimostrazione