Continuità e discontinuità di funzione: una proposta didattica innovativa

La trattazione di continuità e discontinuità di una funzione nei testi del quinto anno della scuola superiore risulta ancora generalmente legata ad un approccio tradizionale che privilegia un’esposizione assiomatica (definizione → esempio) e una classificazione quasi «botanica» delle discontinuità in tre tipologie, che in al- cuni casi non appare sempre rigorosa. Si chieda, ad esempio, a bruciapelo, a studenti o anche insegnanti se l’iperbole equilatera di equazione y = k/x, con k una costante reale, sia o meno una funzio- ne continua (facendo attenzione a non chiedere dove). Molte delle risposte proba- bilmente si focalizzeranno sul fatto che in x = 0 la funzione presenta una discon- tinuità di seconda specie. Tuttavia la definizione di continuità implica che il punto in cui la si valuti appartenga al dominio della funzione e, a rigore, poiché in x = 0 non è definita, l’iperbole risulta in realtà continua in tutto il suo dominio. Al di fuori di quest’ultimo, infatti, la funzione non esiste e non ha senso chiedersi quali comportamenti abbia. Alcuni testi, inoltre, associano la discontinuità di seconda specie alla presenza di asintoti, inglobando in questa categoria casi come il punto x = 0 per la funzione y = log (x), attentando, di fatto, allo status di quella che sembrerebbe una funzione continua in tutto il suo dominio. Quella di seguito esposta è, invece, la proposta di un percorso didattico che possa superare tali criticità, sviluppando una trattazione che risulti rigorosa ma che stimoli gli studenti attraverso l’uso di esempi interessanti che portino solo in ultima via alla formalizzazione matematica.