Un percorso didattico verso il concetto di funzione a partire dalle costruzioni con riga e compasso ispirato alla storia

Il nostro lavoro propone di presentare il concetto di funzione secondo un approccio storico genetico [1] a partire da quanto proposto da Cartesio nella sua Géométrie relativamente all’algebra dei segmenti [2]. Cartesio, all’inizio del primo libro della Géométrie, mostra come, partendo da due segmenti qualsiasi, si possano costruire con riga e compasso altri segmenti che rappresentano la somma, la differenza, il prodotto e la divisione. L’idea, dalla quale parte, innovativa nella sua semplicità, è quella di fissare un segmento cui riferire le costruzioni: l’unité. La variabilità del segmento geometrico, a differenza di quella numerica, permette di definire un modello intuitivo e trasparente rispetto alla costruzione. A partire da quest’algebra dei segmenti, è possibile esprimere il collegamento tra due segmenti variabili “attraverso una serie di costruzioni geometriche elementari che si possono codificare in un’espressione algebrica” [3]: dunque, un’equazione corrisponde a una costruzione geometrica e le variabili rappresentano segmenti la cui variazione è vincolata dalla corrispondente costruzione. Il grafico di una funzione razionale diventa quindi il luogo di una costruzione con riga e compasso. Riteniamo che utilizzare i segmenti e le costruzioni riga e compasso permetta di dare un senso concreto alla variazione e alla covariazione continua di oggetti matematici, preparando così la strada alla comprensione del concetto di funzione reale. L’immagine della funzione che si propone è diversa da quella numerica e, a nostro avviso, permette di comprendere meglio la costruzione (che è uguale per qualsiasi segmento) a differenza di quanto avviene in una definizione numerica. Riteniamo, inoltre, che l’utilizzo del software GeoGebra aumenti la potenza del modello sopra descritto, in quanto l’opportunità di poter modificare dinamicamente i segmenti che rappresentano le variabili non solo permette di osservare la variazione del segmento corrispondente che esprime un’operazione, ma altresì consente di costruire il grafico di una funzione razionale come luogo di una costruzione con riga e compasso. L’epilogo naturale di questo studio è stato quello di costruire un percorso didattico realizzato attraverso un libro GeoGebra rivolto a studenti di liceo o universitari. Il percorso è strutturato in quattro parti: 1) introduzione al concetto di covariazione di punti e segmenti; 2) costruzioni geometriche guidate del segmento che rappresenta le quattro operazioni partendo da segmenti di cui almeno uno variabile; 3) costruzioni di luoghi geometrici attraverso la proiezione del punto di covariazione su una opportuna retta diversa da quella su cui giacciono i segmenti; 4) costruzioni geometriche più articolate e non guidate. Abbiamo effettuato una sperimentazione in due classi seconde di un liceo scientifico. Tutto il materiale raccolto, parzialmente elaborato, ha evidenziato che l’approccio storico dell’algebra di Cartesio proposto con l’uso di strumenti informatici ha consentito agli studenti di esplorare e stupirsi, trovare relazioni a volte inaspettate e elaborare consapevolmente l’immagine di funzione.