Evolutionary dynamics of populations structured by dietary diversity and starvation: cross-diffusion systems

This thesis aims to present some recent results and advances in the analysis of nonlinear parabolic problems arising in biology and ecology. More precisely, we study the existence, regularity and stability of solutions of partial differential equations (PDEs), describing the evolution of two species that diffuse in a homogeneous environment and interact with each other. The PDEs we consider are strongly coupled and the system they give rise to belongs to a class of non-linear reaction-diffusion systems, called cross-diffusion systems. More precisely, we study a class of triangular starvation driven cross-diffusion systems arising in population dynamics. The tools employed are entropy methods, a priori estimates, fixed point and compactness arguments. Moreover, we analyze the linear stability of homogeneous equilibria to investigate Turing instability and pattern formation. Numerical simulations are performed to complement the theoretical results.

In questa tesi presentiamo alcuni progressi nell'analisi di problemi parabolici non lineari, derivanti dalla biologia e dall'ecologia. In particolare, studiamo l'esistenza, la regolarità e la stabilità delle soluzioni di equazioni alle derivate parziali (PDE), che descrivono l'evoluzione di due specie interagenti tra loro che si diffondono in un dominio spazialmente omogeneo. Le PDE considerate sono fortemente accoppiate, cioè accoppiate attraverso termini con derivata di secondo ordine, e danno luogo a sistemi che rientrano nella classe di sistemi di reazione-diffusione non lineari, chiamati sistemi di diffusione incrociata. Più precisamente, studiamo una classe di sistemi triangolari di diffusione incrociata, indotta dalla diversità alimentare delle popolazioni nell'ecosistema. Le tecniche usate nell'analisi riguardano metodi di entropia, stime a priori, argomenti di punto fisso e di compattezza. Inoltre, studiamo la stabilità lineare degli equilibri omogenei per analizzare l'instabilità di Turing e la conseguente formazione di motivi (pattern). Infine, completiamo l'analisi con simulazioni numeriche a supporto dei risultati teorici ottenuti.