Irreducible modules over finite simple Lie pseudoalgebras III. Primitive pseudoalgebras of type H

A Lie conformal algebra is an algebraic structure that encodes the singular part of the operator product expansion of chiral fields in conformal field theory. A Lie pseudoalgebra is a generalization of this structure, for which the algebra of polynomials k[∂] in the indeterminate ∂ is replaced by the universal enveloping algebra U(d) of a finite-dimensional Lie algebra d over the base field k. The finite (i.e., finitely generated over U(d)) simple Lie pseudoalgebras were classified in our 2001 paper [1]. The complete list consists of primitive Lie pseudoalgebras of type W,S,H, and K, and of current Lie pseudoalgebras over them or over simple finite-dimensional Lie algebras. The present paper is the third in our series on representation theory of simple Lie pseudoalgebras. In the first paper, we showed that any finite irreducible module over a primitive Lie pseudoalgebra of type W or S is either an irreducible tensor module or the image of the differential in a member of the pseudo de Rham complex. In the second paper, we established a similar result for primitive Lie pseudoalgebras of type K, with the pseudo de Rham complex replaced by a certain reduction, called the contact pseudo de Rham complex. This reduction in the context of contact geometry was discovered by M. Rumin [11]. In the present paper, we show that for primitive Lie pseudoalgebras of type H, a similar to type K result holds with the contact pseudo de Rham complex replaced by a suitable complex. However, the type H case in more involved, since the annihilation algebra is not the corresponding Lie–Cartan algebra, as in other cases, but an irreducible central extension. When the action of the center of the annihilation algebra is trivial, this complex is related to work by M. Eastwood [6] on conformally symplectic geometry, and we call it conformally symplectic pseudo de Rham complex.

Un'algebra di Lie conforme è una struttura algebrica che codifica la parte singolare dell'operator product expansion di campi chirali in una teoria di campo conforme. Una pseudoalgebra di Lie è una generalizzazione di questa struttura per la quale l'algebra dei polinomi k[∂] nell'indeterminata ∂ è sostituita con l'algebra inviluppante universale U(d) di un'algebra di Lie di dimensione finita d sul campo base k. La pseudoalgebre di Lie semplici finite (cioè finitamente generate su U(d)) sono state classificate nel nostro lavoro del 2001 [1]. La lista completa consiste nelle pseudoalgebre di Lie primitive di tipo W, S, H e K e nelle pseudoalgebre di Lie di correnti su di loro o su un'algebra di Lie semplice di dimensione finita. Questo articolo è il terzo nella nostra serie sulla teoria delle rappresentazioni delle pseudoalgebre di Lie semplici. Nel primo articolo, abbiamo mostrato che ogni modulo irriducibile finito su una pseudoalgebra di Lie primitiva di tipo W o S è un tensor module irriducibile o l'immagine del differenziale in uno dei moduli che compaiono nello pseudocomplesso di de Rham. Nel secondo articolo, abbiamo ottenuto un risultato simile per le pseudoalgebre di Lie primitive di tipo K, rimpiazzando lo pseudocomplesso di de Rham con una sua riduzione, chiamata pseudocomplesso di de Rham di contatto. Questa riduzione, nel contesto della geometria di contatto, era stata scoperta da M. Rumin [11]. Nell'articolo in oggetto, mostriamo che vale, per le pseudoalgebre di Lie primitive di tipo H, un risultato simile a quello di tipo K con lo pseudocomplesso di de Rham sostituito da un complesso opportuno. Ad ogni modo, il caso di tipo H è più complesso, dal momento che l'algebra di distruzione non è la corrispondente algebra di Lie-Cartan, come negli altri casi, ma una sua estensione centrale irriducibile. Quando l'azione del centro dell'algebra di distruzione è banale, il complesso che si ottiene è legato a quello introdotto da M. Eastwood [6] nella geometria conformemente simplettica, e lo chiamiamo pertanto pseudocomplesso di de Rham conformemente simplettico.