Clifford systems, Clifford structures, and their canonical differential forms

A comparison among different constructions in ℍ^2 ≅ ℝ^8 of the quaternionic 4-form Φ_{Sp(2)Sp(1)} and of the Cayley calibration Φ_{Spin(7)} shows that one can start for them from the same collections of “Kähler 2-forms”, entering both in quaternion Kähler and in Spin(7) geometry. This comparison relates with the notions of even Clifford structure and of Clifford system. Going to dimension 16, similar constructions allow to write explicit formulas in ℝ^{16} for the canonical 4-forms Φ_{Spin(8)} and Φ_{Spin(7)U(1)}, associated with Clifford systems related with the subgroups Spin(8) and Spin(7)U(1) of SO(16). We characterize the calibrated 4-planes of the 4-forms Φ_{Spin(8)} and Φ_{Spin(7)U(1)}, extending in two different ways the notion of Cayley 4-plane to dimension 16.

Un confronto tra differenti costruzioni in ℍ^2 ≅ ℝ^8 della 4-forma quaternionale Φ_{Sp(2)Sp(1)} e della calibrazione di Cayley Φ_{Spin(7)} mostra che per esse si può partire dalle “2-forme di Kähler”, che entrano sia in geometria quaternionale kähleriana che Spin(7). Tale confronto si collega con le nozioni di struttura di Clifford pari e di sistema di Clifford. Passando alla dimensione 16, simili costruzioni consentono di scrivere formule esplicite in ℝ^{16} per le 4-forme canoniche Φ_{Spin(8)} e Φ_{Spin(7)U(1)}, associate a sistemi di Clifford legati ai sottogruppi Spin(8) e Spin(7)U(1) di SO(16). Si caratterizzano i 4-piani calibrati delle 4-forme Φ_{Spin(8)} e Φ_{Spin(7)U(1)}, estendendo in due diversi modi la nozione di 4-piano di Cayley alla dimensione 16.