Phase transitions of biological phenotypes by means of a prototypical PDE model

The basic investigation is the existence and the (numerical) observability of propagating fronts in the framework of the so-called Epithelial-to-Mesenchymal Transition and its reverse Mesenchymal-to-Epithelial Transition, which are known to play a crucial role in tumor development. To this aim, we propose a simplified one-dimensional hyperbolic-parabolic PDE model composed of two equations, one for the representative of the epithelial phenotype, and the second describing the mesenchymal phenotype. The system involves two positive constants, the relaxation time and a measure of invasiveness, moreover an essential feature is the presence of a nonlinear reaction function, typically assumed to be S-shaped. An identity characterizing the speed of propagation of the fronts is proven, together with numerical evidence of the existence of traveling waves. The latter is obtained by discretizing the system by means of an implicit-explicit finite difference scheme, then the algorithm is validated by checking the capability of the so-called LeVeque-Yee formula to reproduce the value of the speed furnished by the above cited identity. Once such justification has been achieved, we concentrate on numerical experiments relative to Riemann initial data connecting two stable stationary states of the underlying ODE model. In particular, we detect an explicit transition threshold separating regression regimes from invasive ones, which depends on critical values of the invasiveness parameter. Finally, we perform an extensive sensitivity analysis with respect to the system parameters, exhibiting a subtle dependence for those close to the threshold values, and we postulate some conjectures on the propagating fronts.

L'indagine di base è l'esistenza e l'osservabilità (numerica) di fronti di propagazione nel quadro della cosiddetta transizione epiteliale-mesenchimale e della sua transizione inversa mesenchimale-epiteliale, che sono noti per svolgere un ruolo cruciale nello sviluppo del tumore . A questo scopo, proponiamo un modello PDE iperbolico-parabolico unidimensionale semplificato composto da due equazioni, una per il rappresentante del fenotipo epiteliale e la seconda che descrive il fenotipo mesenchimale. Il sistema prevede due costanti positive, il tempo di rilassamento e una misura dell'invasività, inoltre una caratteristica essenziale è la presenza di una funzione di reazione non lineare, tipicamente assunta a forma di S. Viene provata un'identità che caratterizza la velocità di propagazione dei fronti, unitamente all'evidenza numerica dell'esistenza di onde viaggianti. Quest'ultimo si ottiene discretizzando il sistema mediante uno schema a differenze finite implicito-esplicito, quindi l'algoritmo viene validato verificando la capacità della cosiddetta formula LeVeque-Yee di riprodurre il valore della velocità fornito dall'identità sopra citata . Una volta ottenuta tale giustificazione, ci concentriamo su esperimenti numerici relativi ai dati iniziali di Riemann che collegano due stati stazionari stabili del modello ODE sottostante. In particolare, rileviamo una soglia di transizione esplicita che separa i regimi di regressione da quelli invasivi, che dipende dai valori critici del parametro invasività. Infine, eseguiamo un'ampia analisi di sensitività rispetto ai parametri del sistema, evidenziando una sottile dipendenza per quelli prossimi ai valori di soglia, e postuliamo alcune congetture sui fronti di propagazione.