Alternating and variable controls for the wave equation

The present article discusses the exact observability of the wave equation when the obser- vation subset of the boundary is variable in time. In the one-dimensional case, we prove an equivalent condition for the exact observability, which takes into account only the location in time of the observation. To this end we use Fourier series. Then we investigate the two specific cases of single exchange of the control position, and of exchange at a constant rate. In the multi-dimensional case, we analyse sufficient conditions for the exact observability relying on the multiplier method. In the last section, the multi-dimensional results are applied to specific settings and some connections between the one and multi-dimensional case are discussed; furthermore some open problems are presented.

Questo articolo discute l'esatta osservabilità dell'equazione delle onde quando il sottoinsieme delle osservazioni di confine è variabile nel tempo. Nel caso unidimensionale, dimostriamo una condizione equivalente per l'osservabilità esatta, che tiene conto solo della posizione nel tempo dell'osservazione. Per questo usiamo la serie di Fourier. Quindi indaghiamo i due casi specifici di scambio unico di posizione di controllo e cambio a tasso costante. Nel caso multidimensionale, analizziamo condizioni sufficienti per l'osservabilità esatta basata sul metodo del moltiplicatore. Nell'ultima sezione, i risultati multidimensionali vengono applicati a impostazioni specifiche e vengono discusse alcune connessioni tra il caso unidimensionale e quello multidimensionale; vengono presentati anche alcuni problemi aperti.