Random walks in the hyperbolic plane and the Minkowski question mark function

Consider the group of 2x2 invertible matrices with integer coefficients acting on the complex upper half-plane by the corresponding Mobius transformations. We consider a random walk on the plane constructed by choosing at random among nine matrices. We show that the random walk converges in law to a random variable whose distribution is related in a simple way to Minkowski's ? function. Various properties of this limiting law can be obtained from this analysis.

Si consideri il gruppo delle matrici invertibili 2x2 con coefficienti interi che agisce sul semipiano superiore del piano complesso mediante le corrispondenti trasformazioni di Mobius. Consideriamo una passeggiata casuale sul piano costruita scegliendo a caso tra nove matrici. Dimostriamo che la camminata casuale converge in legge ad una variabile casuale la cui la distribuzione è collegata in un senso semplice alla funzione di Minkowski ? Varie proprietà di questa legge limite possono essere ottenute da questa analisi.