Teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli: gli antefatti Teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli: il teorema ()l'enunciato, la dimostrazione, le cose da sapere, le applicazioni, gli sviluppi successivi) Teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli: bibliografia

Alla fine del XIX secolo è iniziato un lavoro di riflessione e revisione del concetto di di­stanza, che ha portato alla nascita di molti teoremi e di alcuni rami della matematica, tra i quali la topologia e l’analisi funzionale. In particolare sono state studiate le proprietà geometriche che dipendono dalle sole carat­teristiche metriche di uno spazio, cioè dal concetto di distanza, per individuare quali strutture garantiscano la riproducibilità di tali risultati in altri ambienti geometrici e mate­matici. In quest’ambito, il teorema del punto fisso, detto anche delle contrazioni, sviluppa­to indipendentemente dal polacco Banach e dall’italiano Caccioppoli nella prima metà del Novecento, rappresenta un potente stru­mento matematico che garantisce l’esistenza e l’unicità di un punto fisso in certi spazi me­trici, e fornisce un metodo costruttivo per tro­vare questi punti fissi. Si applica in particolar modo alle contrazioni, classe di funzioni la cui azione consiste nel contrarre le distanze; infatti data una coppia di punti dello spazio metrico le loro immagini, tramite una contrazione, costituiscono una nuova coppia che è sempre più vicina di quanto lo fossero i due punti di partenza. Le applicazioni del teorema riguardano per esempio le risoluzioni di sistemi lineari, non lineari, differenziali e integrali.