Un approccio teorico ai software dinamici. Comandi come operazioni, trascinamento e trasformazioni geometriche

Negli usuali software geometrici si osservano le costruzioni invarianti per trascinamento. Nei programmi Brocca si parla di «proprietà invarianti rispetto alle diverse trasformazioni» (similitudini, ecc.), nel senso del programma di Erlangen. Le due situazioni sembrano simili fra loro; tuttavia, si rimane incerti di fronte alla domanda «qual è il gruppo di trasformazioni del Cabri?». Per un inquadramento teorico dei software geometrici, è utile riprendere l'impostazione logica della geometria euclidea dovuta a Tarski: si pensa che gli oggetti siano solo punti e si introducono opportune relazioni fra questi. Ma quando si opera con un software geometrico, si ha a che fare non con relazioni, ma con operazioni (cioè con funzioni): applicando certi comandi a determinati punti si ottengono nuovi punti. In altre parole, a partire da alcuni punti base si genera una figura. Si pongono problemi pratici (per costruire una certa figura, qual è la scelta più economica per i punti base?) e problemi teorici. In particolare, ci sono analogie formali con strutture quali l'anello dei polinomi, visti come espressioni sintattiche che indicano operazioni su variabili. In quest'ottica, si può pensare ad una teoria per la geometria euclidea (o per una sua parte) che si basa su operazioni elementari.