Dall'inversione circolare all'inversione quadrica: aspetti storici e potenzialità didattiche

L’inversione quadrica, che è il tema centrale di questo articolo, è una immediata generalizzazione della più nota inversione circolare. La mia trattazione prende le mosse dalle prime formulazioni del principio di inversione soffermandosi, in particolare, sulla vera e propria sistematizzazione della teoria dell’inversione avvenuta ad opera del matematico italiano Giusto Bellavitis (1803-1880). Questi propose, senza approfondirne i dettagli, una possibile generalizzazione dell’inversione circolare considerando come curva fondamentale una qualsiasi conica fissa e ponendo l’origine in un punto qualunque del piano su cui giace la conica. Questa idea fu ripresa e sviluppata dal matematico inglese Thomas Archer Hirst (1830-1892), i cui studi destarono l’interesse dell’italiano Luigi Cremona (1830-1903), noto per aver concepito la teoria delle trasformazioni birazionali. Nella seconda parte di questo articolo illustro i risultati ottenuti da Hirst, in un quadro di riferimento che potrebbe avere riflessi didattici: seguendo il metodo di ragionamento con cui l’autore dedusse i risultati delle sue ricerche, vengono esposti i principi generali dell’inversione quadrica, accompagnando le argomentazioni teoriche con l’introduzione di esempi che possono essere realizzati praticamente in attività laboratoriali con l’utilizzo di software di geometria dinamica come GeoGebra e Cabri Géomètre. (*) (*) Quando il presente articolo era ormai scritto, è apparso il seguente lavoro: Vaccaro, M.A., Dalle trasformazioni quadratiche alle trasformazioni birazionali. Un percorso attraverso la corrispondenza di Luigi Cremona, Bollettino di storia delle scienze matematiche, Vol. XXXVI, 2016, 1, pp. 9-44. L’affinità dei temi trattati comporta che i due lavori abbiano, in alcune parti, contenuti analoghi; ma il diverso punto di vista adottato e la differente finalità fanno sì che entrambe trattazioni presentino contributi originali distinti.