Integrali

Integrali di funzioni complesse di variabile reale. Cammini, cammini chiusi, cammini chiusi semplici. Cammini regolari a tratti. Traccia di un cammino. Cammini equivalenti: curve. Lunghezza di un cammino regolare a tratti e sua in- varianza per riparametrizzazione. Teorema della curva di Jordan (non dimostrato). Integrali di funzioni complesse lungo cammini regolari a tratti. Invarianza dell’inte- grale per riparametrizzazione del cammino. Maggiorazione del modulo di un inte- grale: disuguaglianza di Darboux. Teorema sull’esistenza della primitiva. Primitive di funzioni polidrome e calcolo di integrali su curve chiuse. Teorema di Cauchy- Goursat per curve chiuse semplici. Curve omotope. Curve chiuse omotope a zero. Insiemi aperti semplicemente connessi. Estensione del teorema di Cauchy-Goursat a curve chiuse in domini semplicemente connessi. Una funzione analitica in un dominio semplicemente connesso ammette primitiva. Principio di deformazione dei cammini. Formula integrale di Cauchy per una funzione analitica. Esistenza e formula integrale di Cauchy per le derivate di ogni ordine delle funzioni analitiche. La derivata di ogni ordine di una funzione analitica è analitica. Teorema di Morera. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra: decomposizione di un polinomio.