Problemi di microeconomia. Un'applicazione del metodo delle disuguaglianze alle scelte di consumo e alle scelte di produzione

Questo lavoro nasce dal desiderio, a lungo coltivato, di trovare un metodo elementare e diretto per risolvere i più comuni problemi di ottimizzazione vincolata utilizzati nella teoria del consumo e della produzione. Nel corso della mia ricerca, mi sono imbattuto in un brano di Courant e Robbins (1971, pagine 532-536) in cui viene considerato il seguente problema: «Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato, trovare quello di area massima». L’analogia fra questo problema e quello di massimizzazione vincolata dell’utilità appare evidente anche grazie alla rappresentazione grafica proposta dagli autori. Tuttavia, Courant e Robbins non risolvono il problema descritto in precedenza con tecniche basate sul calcolo differenziale; essi applicano invece un metodo elementare e diretto basato sull’utilizzo della disuguaglianza fra la media aritmetica e la media geometrica. A partire da quell’esempio, mi sono reso conto che il metodo di risoluzione di problemi di ottimizzazione basato sull’utilizzo di disuguaglianze, ampiamente consolidato nella letteratura matematica, può essere utilizzato per risolvere i problemi di massimizzazione e minimizzazione vincolata che si incontrano nello studio della microeconomia. Nella speranza che questo approccio possa essere utile sia per fini di ricerca sia per fini didattici, ho deciso di raccogliere in questo lavoro i risultati finora ottenuti.